Secundair onderwijs - Eerste graad - A-stroom - Wiskunde

Vakgebonden eindtermen

 

1. Inhoudelijke eindtermen

 

1.1 Getallenleer

 

1.1.1 Begripsvorming-Feitenkennis

  De leerlingen
1 kunnen natuurlijke, gehele en rationale getallen associëren met realistische en betekenisvolle contexten.
2 kennen de tekenregels bij gehele en rationale getallen.
3 weten dat de eigenschappen van de bewerkingen in de verzameling van de natuurlijke getallen geldig blijven en kunnen worden uitgebreid in de verzamelingen van de gehele en rationale getallen.
4 onderscheiden en begrijpen de verschillende notaties van rationale getallen (breuk- en decimale notatie).
5 hanteren de gepaste terminologie in verband met bewerkingen: optelling, som, termen van een som, aftrekking, verschil, vermenigvuldiging, produkt, factoren van een produkt, deling, quotiënt, deeltal, deler, rest, percent, kwadraat, vierkantswortel, macht, grondtal, exponent, tegengestelde, omgekeerde, absolute waarde, gemiddelde.
 

1.1.2 Procedures

  De leerlingen
6 passen afspraken in verband met de volgorde van bewerkingen toe.
7 voeren de hoofdbewerkingen (optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling) correct uit in de verzamelingen van de natuurlijke, de gehele en de rationale getallen.
8 rekenen handig door gebruik te maken van eigenschappen en rekenregels van bewerkingen.
9 gebruiken doelgericht een rekentoestel.
10 ordenen getallen en gebruiken de gepaste symbolen  (£, <, ³, >, =, ).
11 berekenen machten met grondtal 10 en 2 met gehele exponent. Zij passen hierop rekenregels van machten toe.
12 kunnen:
 
  • de uitkomst van een bewerking schatten;
  • een resultaat oordeelkundig afronden.
13 gebruiken procentberekeningen in zinvolle contexten.
 

1.1.3 Samenhang tussen begrippen

  De leerlingen
14 interpreteren een rationaal getal als een getal dat de plaats van een punt op een getallenas bepaalt.
15 kunnen het verband uitleggen tussen optellen en aftrekken, vermenigvuldigen en delen.
16 herkennen het recht evenredig en omgekeerd evenredig zijn van twee grootheden in tabellen en in het dagelijkse leven.
17 kunnen vanuit tabellen met cijfergegevens het rekenkundig gemiddelde en de mediaan (voor niet-gegroepeerde gegevens) berekenen en hieruit relevante informatie afleiden.
 

1.2 Algebra

 

1.2.1 Begripsvorming-Feitenkennis

  De leerlingen
18 gebruiken letters als middel om te veralgemenen en als onbekenden.
 

1.2.2 Procedures

  De leerlingen
19 kunnen twee- en drietermen optellen en vermenigvuldigen en het resultaat vereenvoudigen.
20 kennen de formules voor de volgende merkwaardige produkten: (a+b)² en (a+b)(a-b); ze kunnen ze verantwoorden en in beide richtingen toepassen.
21 kunnen vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende oplossen.
22 kunnen eenvoudige vraagstukken die te herleiden zijn tot een vergelijking van de eerste graad met één onbekende oplossen.
 

1.2.3 Samenhang tussen begrippen

  De leerlingen
23 ontdekken regelmaat in eenvoudige patronen en schema's en kunnen ze beschrijven met formules.
24 kunnen vanuit tabellen recht evenredige verbanden met formules uitdrukken.
25 kunnen functioneel gebruik maken van eenvoudige schema's, figuren, tabellen en diagrammen.
 

1.3 Meetkunde

 

1.3.1 Begripsvorming-Feitenkennis

  De leerlingen
26 kennen en gebruiken de meetkundige begrippen diagonaal, bissectrice, hoogtelijn, middelloodlijn, straal, middellijn, overstaande hoeken, nevenhoeken, aanliggende hoeken, middelpuntshoeken.
27 herkennen evenwijdige stand, loodrechte stand en symmetrie in vlakke figuren en ze herkennen gelijkvormigheid en congruentie tussen vlakke figuren.
28 herkennen figuren in het vlak, die bekomen zijn door een verschuiving, een spiegeling of een draaiing.
29 weten dat in een tweedimensionale voorstelling van een driedimensionale situatie, informatie verloren gaat.
30 herkennen kubus, balk, recht prisma, cilinder, piramide, kegel en bol aan de hand van een schets, tekening en dergelijke.
31 kennen meetkundige eigenschappen zoals: de hoekensom in driehoeken en vierhoeken, eigenschappen van gelijkzijdige en gelijkbenige driehoeken, eigenschappen van zijden, hoeken en diagonalen in vierhoeken.
 

1.3.2 Procedures

  De leerlingen
32 kiezen geschikte eenheden en instrumenten om afstanden en hoeken te meten of te construeren met de gewenste nauwkeurigheid.
33 gebruiken het begrip schaal om afstanden in meetkundige figuren te berekenen.
34 berekenen de omtrek en oppervlakte van driehoek, vierhoek en cirkel en de oppervlakte en het volume van kubus, balk en cilinder.
35 kunnen:
 
  • het beeld bepalen van een eenvoudige vlakke meetkundige figuur door een verschuiving, spiegeling, draaiing;
  • symmetrieassen van vlakke figuren bepalen;
  • loodlijnen, middelloodlijnen en bissectrices construeren.
36 kunnen zich vanuit diverse vlakke weergaven een beeld vormen van een eenvoudige ruimtelijke figuur met behulp van allerlei concreet materiaal.
 

1.3.3 Samenhang tussen begrippen

  De leerlingen
37 beschrijven en classificeren de soorten driehoeken en de soorten vierhoeken aan de hand van eigenschappen.
38 bepalen punten in het vlak door middel van coördinaten.
39 stellen recht evenredige verbanden tussen grootheden grafisch voor.
40 begrijpen een gegeven eenvoudige redenering of argumentatie in verband met eigenschappen van meetkundige figuren.
 

2. Vaardigheden

  De leerlingen
41 begrijpen en gebruiken wiskundige taal in eenvoudige situaties.
42 passen communicatieve vaardigheden toe in eenvoudige wiskundige situaties.
43 passen probleemoplossende vaardigheden toe, zoals:
 
  • het herformuleren van een opgave;
  • het maken van een goede schets of een aangepast schema;
  • het invoeren van notaties, het kiezen van onbekenden;
  • het analyseren van eenvoudige voorbeelden.
 

3. Attitudes

  De leerlingen
44* ontwikkelen bij het aanpakken van problemen zelfstandigheid en doorzettingsvermogen.
45* ontwikkelen zelfregulatie: oriëntatie, planning, bewaking, zelftoetsing en reflectie.
46* ontwikkelen een kritische houding tegenover het gebruik van allerlei cijfermateriaal, tabellen, berekeningen en grafische voorstellingen.
47* leren beseffen dat in de wiskunde niet enkel het eindresultaat belangrijk is maar ook de manier waarmee het antwoord bekomen wordt.

Uitgangspunten

1. Visie op het vak wiskunde

1.1 Wiskunde in een veranderende samenleving

1.1.1 Wiskunde en de maatschappij

In wiskunde kan de complexiteit en de abstractie soms hoog zijn. Tegelijkertijd is er in onze technologisch georiënteerde maatschappij een grote vraag naar praktisch bruikbare en concrete wiskunde. Hier bestaat een wisselwerking tussen de theorievorming en de bruikbaarheid van het vak.

1.1.2 Wiskunde en de leerling

Kennisverwerving is een actief, sociaal proces waarvoor een minimale motivatie vereist is. Het leren moet gebeuren op samenhangende inhouden en de kennis moet worden toegepast in diverse situaties.

1.1.3 De eigenheid van het wiskundig denken

Inhoudelijk is het aandeel van de wiskunde onder meer het leveren van een taal en hulpmiddelen om verschijnselen, processen en verbanden te beschrijven en te verklaren. Wiskunde biedt daarvoor modellen aan. Een kenmerk van wiskunde is tevens het werken binnen een ordeningskader.

1.2 Het wiskunde-onderwijs

De stellingname dat wiskunde abstract en formeel is en dat ze eigenlijk los staat van de realiteit, is tot op zekere hoogte correct. Bij wiskunde-onderwijs gaat het eerder om het zinvol ontwikkelen en opbouwen bij jonge mensen van wiskundige kennis en denkwijzen. Dit vereist een didactische aanpak die voldoende aandacht besteedt aan de zingeving van de abstractere wiskundige begrippen. Vandaar dat de eindtermen rekening moeten houden met het vak zelf, met de leerling aan wie het onderwezen wordt en met de maatschappij waarbinnen die leerling zal functioneren.

1.2.1 Het vak wiskunde

Situatieschets

In het wiskunde-onderwijs wordt een horizontale en een verticale component onderscheiden. De horizontale gaat uit van waarnemingen, ervaringen, problemen en hypothesen. De verticale component besteedt vooral aandacht aan abstrahering en structurering. Beide componenten komen aan bod door te werken met een spiraalopbouw. Dit model brengt met zich mee dat niet elk onderdeel van wiskunde dat wordt aangevat, meteen wordt afgewerkt. De onderdelen komen meermaals aan bod, op een steeds hoger, meer gestructureerd niveau.

Dit biedt onderstaande voordelen voor de leerling

  • De leerling verwerft geleidelijk de typische manier van denken en werken, eigen aan elk onderdeel (meetkunde, getallenleer, algebra, stochastiek, analyse, enz.).
  • Er wordt aandacht besteed aan de weg die voert naar de theorie en die tegelijkertijd de zingeving ervan verhoogt.
  • Als de leerling een niveau niet of foutief verwerkt, dan is dit niet zo dramatisch als bij een eenmalige behandeling. De leerling kan aanpikken bij een vorig niveau en verder werken aan de verticale opbouw van het onderdeel.
  • De drempel naar wiskunde wordt verlaagd. Dit geeft de kans om reeds in het beginstadium te werken aan de samenhang tussen de verschillende onderdelen.

Voortschrijdende abstrahering

Bij nieuwe wiskundige kennisopbouw is het belangrijk voldoende en uiteenlopende concrete aanknopingspunten te zoeken. Door een abstract begrip met voldoende voorbeelden te onderbouwen blijft de kennis minder geïsoleerd. Bij het verbinden van nieuwe ervaringen met het begrip of bij het niet meer behoorlijk functioneren van het begrip, kan de leerling terugvallen op die voorbeelden. Bij de ontwikkeling van de begrippen worden er tevens vaardigheden, rekenregels en algoritmen ontwikkeld. Geleidelijk komt men tot theorievorming. Er wordt ingegaan op het formuleren van definities, eigenschappen en stellingen en op de nood aan bewijzen.

Interactie en reflectie

Deze voortschrijdende abstrahering gaat gepaard met interactie tussen de leraar en de leerling en tussen de leerlingen onderling. Communicatie tussen deze partners bevordert het inzicht. De wiskundige denkprocessen worden hierdoor geëxpliciteerd en verder verfijnd. Het gebruik van de wiskundetaal speelt hierbij een rol. Er vindt een geleidelijke overgang plaats van de gewone spreektaal naar een meer geformaliseerde vaktaal.

De leerling wordt alzo verplicht te reflecteren over zijn denkproces. Er dienen een aantal keuzes gemaakt te worden die resulteren in een zekere planning. Tussentijdse controles hebben een sturend effect en kunnen leiden tot koerswijzigingen. Bij het uitblijven van resultaten dient er gezocht te worden naar oorzaken. Bekomen resultaten dienen te worden geëvalueerd.

Het belang van reflectie bij de vorming zit er ondermeer in dat:

  • de leerling zijn handelen kritisch leert analyseren;
  • de leerling minder afhankelijk wordt van anderen;
  • het denken aan planmatigheid wint;
  • oplossingsmethoden onderzocht worden op generaliseerbaarheid;
  • het denken flexibeler wordt.

1.2.2 De maatschappij

Omgaan met data

In onze maatschappij wordt zeer veel informatie aangeboden via beelden. Binnen wiskunde moet de leerling leren omgaan met de wiskundige verwerking van informatie in tabellen met getallen, grafieken, diagrammen en schema's. De leerlingen leren functioneel gebruik maken van verbanden tussen grootheden aan de hand van deze voorstellingen.

Gebruik van informatietechnologie

Door de snelle ontwikkelingen in de micro-elektronica kunnen berekeningen en grafische voorstellingen gemakkelijk worden uitgevoerd. Hierdoor kan men andere klemtonen leggen. De leerlingen moeten vlot een zakrekenmachine kunnen hanteren. De kans bestaat dat ze in de toekomst een computer zullen gebruiken voor het oplossen van bepaalde wiskundige problemen. De zakrekenmachine heeft ook de functie van leermiddel omdat ze:

  • vertrekkend vanuit het hoofdrekenen als basisvaardigheden, mogelijkheden biedt tot inzichtelijk werken. Het gebruik bevordert het gevoel voor grootte-orde en inzicht in de nieuwe elementen die decimale getallen met zich meebrengen. Ook bij de samenhang tussen de verschillende soorten getallen kan het rekentoestel zijn diensten bewijzen.
  • een belangrijk visueel overzicht geeft.
  • bij toepassingen de aandacht kan verschuiven van het rekentechnische naar het structurele en probleemoplossende aspect.
  • interessante simulaties kan uitvoeren die de denkprocessen kunnen ondersteunen.

Transfer en probleemoplossend denken

Door het vlugge tempo waarmee de samenleving verandert, is het belangrijk dat de leerlingen de nodige soepelheid ontwikkelen om snel en efficiënt allerhande problemen op te lossen. De wendbaarheid van opgedane wiskundekennis wordt belangrijk. Wiskundige begrippen en vaardigheden moeten herkenbaar en toepasbaar zijn in andere vakken. Eenzelfde methode of redenering kan ingezet worden in verschillende domeinen van de samenleving.

Naast de kennis van het vakdomein zijn er ook een aantal inhoudsvrije vaardigheden, zoekstrategieën die vooral hun diensten bewijzen bij het vertalen van de situatie in een wiskundig herkenbaar probleem. Tenslotte zijn er vaardigheden om het oplossingsproces behendig te sturen en te controleren (zie interactie en reflectie).

Een goede probleemoplosser moet beschikken over domeinspecifieke kennis, probleemoplossende vaardigheden en zelfregulerende processen.

1.2.3 De leerling

Motivatie

De motivatie van de leerling kan verhoogd worden door er voor te zorgen dat het vak nuttig, zinvol en boeiend ervaren wordt. Het nut komt tot uiting in de bruikbaarheid en de toepassingsgerichtheid. Wiskunde wordt zinvoller als men vertrekt van herkenbare situaties, van voorbeelden aangepast aan het bevattingsvermogen en inspelend op de belevingswereld van de leerlingen. Als de leerlingen actief betrokken worden bij de opbouw van hun wiskundige kennis en vaardigheden, zullen zij de zin van theorievorming beter inzien.

Het boeiende wordt bereikt als de leerlingen in bewondering kunnen staan voor de schoonheid en de perfectie van een meetkundige figuur, de helderheid van een redenering en de elegantie van een formule. Probleemsituaties stellen een uitdaging voor de leerling.

Zelfvertrouwen

Als de leerlingen ontdekken dat ze bekwaam zijn om hun groeiende wiskundekennis te gebruiken in nieuwe situaties, groeit hun vertrouwen en worden ze zelfzekerder. Vertrekken van relatief eenvoudige problemen, die ze zelfstandig kunnen oplossen, moedigt hen aan om zelfstandig nieuwe, meer complexe oefeningen aan te pakken.

Waarden en attitudes

De leerlingen moeten ervaren dat wiskunde praktisch nut heeft, dat ze een vormende en esthetische waarde heeft. De geschiedenis van de wiskunde doet hen inzien dat het vak een belangrijke cultuurcomponent was en nog steeds is. Wiskunde is in het verleden gegroeid doorheen verschillende culturen. Door aandacht te besteden aan dit groeiproces kunnen de leerlingen wiskunde als een dynamische proces ervaren.

Leerlingen hebben de goede gewoonte kritisch te staan tegenover allerlei cijfermateriaal, tabellen, berekeningen, enz. Ze zijn bereid een probleem zelf aan te pakken. Het leren door vallen en opstaan moet niet ontmoedigend werken. Uit fouten en verkeerde keuzes kan eveneens geleerd worden. De leerlingen verwerven de goede gewoonte op hun oplossingsproces terug te blikken en hun resultaat te toetsen. Ze ervaren het oplossingsproces even waardevol als het resultaat.

2. Funderende doelstellingen

  1. Een wiskundig basisinstrumentarium verwerven. Leren omgaan met symbolen, formules, begrippen en verbanden waarmee men getallenleer, algebra, meetkunde, analyse en stochastiek kan ontwikkelen.
  2. Een aantal wiskundige denkmethoden verwerven. Mogelijkheden verwerven om te ordenen en te structureren.
  3. Cijfer- en beeldinformatie op een betekenisvolle manier hanteren.
  4. Omgaan met de wiskunde als taal.
  5. Vaardigheden ontwikkelen in het oplossen van problemen.
  6. Verbanden leggen tussen de wiskundige leerinhouden en andere vakdisciplines.
  7. Technische hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken, berekeningen uit te voeren of wiskundige problemen te onderzoeken
  8. Ervaren dat de wiskunde een dynamische wetenschap is.
  9. Zelfvertrouwen en kritische zin ontwikkelen.
  10. Ervaren dat de wiskunde een belangrijke cultuurcomponent is.

3. Selectiecriteria en structurering van de eindtermen

Bij de selectie van de eindtermen voor de eerste graad is met onderstaande criteria rekening gehouden.

  • De verschillende onderdelen worden naast elkaar en in samenhang met elkaar geplaatst, met aandacht voor de vormende waarde en de samenhang binnen en de toepassingsgerichtheid van het vak.
  • De leerinhouden moeten leerlingen motiveren voor het vak. Hun zelfvertrouwen, hun zelfstandigheid en hun creativiteit moeten voldoende kansen krijgen. Daarom moeten de eindtermen de mogelijkheid bieden om actief met wiskunde om te gaan.
  • Tenslotte geldt ook de maatschappelijke relevantie van het vak. Het gaat hier om een aantal essentiële basiscompetenties, nodig om te kunnen functioneren in de maatschappij.
  • Bij de structurering van de inhoudelijke eindtermen voor de eerste graad wordt de indeling vanuit het lager onderwijs in grote lijnen gerespecteerd. De leerinhouden worden gegroepeerd in onderdelen (getallenleer, algebra en meetkunde). Binnen elk onderdeel wordt een onderscheid gemaakt tussen "feitenkennis en begripsvorming", "procedures" en "samenhang" tussen begrippen.
  • Eindtermen betreffende "communicatieve en probleemoplossende vaardigheden" en "attitudes" worden afzonderlijk geformuleerd.
  • De volgorde en indeling waarin de eindtermen worden aangeboden, hebben geen didactische consequentie en zijn niet bindend voor de uitwerking van de eindtermen in een leerplan.

4. Coördinatie

4.1 Verticale samenhang

Het wiskundeonderwijs is een proces van geleidelijke opbouw en verdieping. Wat in het lager onderwijs reeds is verworven, met name getallen, meten (met inbegrip van omgaan met data) en meetkunde (met inbegrip van ruimtelijke oriëntatie) en een probleemgerichte aanpak, wordt verder uitgediept. Daarnaast komen nieuwe inhouden aan bod, die op hun beurt in de tweede graad verder worden ontwikkeld.

Bij de getallenleer wordt vertrokken van het concreet cijferrekenen waarvan het fundament gelegd is in het lager onderwijs. Door invoering van natuurlijke getallen, voorzien van een minteken en negatieve breuken, komt men tot de verzamelingen der gehele en rationale getallen. Hierbij worden de bewerkingen en eigenschappen algemener neergeschreven. Daarvoor wordt overgestapt op letters en komt men tot algebraïsch rekenen. De bewerkingen en eigenschappen van de getallenleer krijgen hier een hogere, abstracte waarde.

Het gebruik van letters wordt uitgebreid tot het werken aan problemen waarbij verbanden tussen variabelen een rol spelen. De algebra krijgt hierdoor tevens het karakter van een gebruiksinstrument bij het oplossen en beschrijven van verbanden tussen grootheden. Tegelijkertijd is het een fundament voor het begrip functie in de analyse uit de tweede en derde graad.

Voor meetkunde breidt men de kenmerken uit van concrete vlakke en ruimtelijke figuren, die in het lager onderwijs bestudeerd werden. Hierbij wordt de stap gezet naar het ab-stractere begrip 'meetkundige figuur' en de kenmerken van deze figuren krijgen het karakter van eigenschappen en geven aanleiding tot het ordenen van de figuren in het vlak.

De ruimtelijke oriëntatie, die in het lager onderwijs vooral is toegespitst op het kunnen lezen van en het zich oriënteren via plattegronden, wordt in de eerste graad uitgebreid tot het onderzoek van de moeilijkheden die men ondervindt bij het bestuderen van ruimtelijke figuren via tweedimensionale voorstellingen.

Door het werken met roosters worden getallenleer en meetkunde met elkaar verbonden.

Het omgaan met data heeft in het lager onderwijs vooral betrekking op het aflezen van gegevens uit grafische voorstellingen en de functie van gemiddelde en procenten. In de eerste graad komen daar het berekenen en het nut van eenvoudige karakteristieken van gegevens bij, alsook het functioneel kunnen gebruiken van grafische voorstellingswijzen in verband met deze gegevens.

Voorbeelden

  1. De leerlingen kunnen de functie van het begrip gemiddelde aan de hand van concrete voorbeelden verwoorden. (Lager onderwijs: wiskunde, eindterm 2.7.)

    De leerlingen kunnen vanuit tabellen met cijfergegevens het rekenkundig gemiddelde en de mediaan (voor niet-gegroepeerde gegevens) berekenen en hieruit relevante informatie afleiden. (Eerste graad: wiskunde, eindterm 17.)

  1. De leerlingen kunnen orde en regelmaat ontdekken in getallenpatronen. (Lager onderwijs: wiskunde, eindterm 1.19.)

    De leerlingen ontdekken regelmaat in eenvoudige patronen en schema's en kunnen ze beschrijven met formules. (Eerste graad: wiskunde, eindterm 23.)

4.2 Horizontale samenhang

Het maatschappelijk leven vereist onder meer een wiskunde die gericht is op praktische toepassingen en die de mathematisering van allerhande problemen mogelijk maakt. Vandaar dat er een coördinatie mogelijk is met andere vakken en vakoverschrijdende thema's.

Voorbeelden

  1. De leerlingen kunnen eenvoudige grafische voorstellingen en tabellen interpreteren. (Eerste graad: biologie, eindterm 21.)

    De leerlingen kunnen functioneel gebruik maken van eenvoudige schema's, figuren, tabellen en diagrammen. (Eerste graad: wiskunde, eindterm 25.)

  1. De leerlingen kunnen bij het oplossen van een probleem, het probleem herformuleren. (Eerste graad: leren leren, eindterm 6.)

    De leerlingen passen probleemoplossende vaardigheden toe, zoals het herformuleren van een opgave. (Eerste graad: wiskunde, eindterm 43.)

Basisvorming

Eerste leerjaar A-B

In het eerste leerjaar A en in het eerste leerjaar B van de eerste graad van het secundair onderwijs onderscheidt men telkens basisvorming en een keuzegedeelte.

Tweede leerjaar A

In het tweede leerjaar A van de eerste graad van het secundair onderwijs onderscheidt men naast de basisvorming de basisopties (en soms nog een keuzegedeelte).

Beroepsvoorbereidend leerjaar

In het beroepsvoorbereidend leerjaar van de eerste graad van het secundair onderwijs onderscheidt men naast de basisvorming de beroepenvelden (en soms nog een keuzegedeelte).

De overheid formuleert geen eindtermen of ontwikkelingsdoelen voor het keuzegedeelte, de basisopties en de beroepenvelden van de eerste graad secundair onderwijs en voor het complementaire gedeelte van de tweede en derde graad.

Besluit Vlaamse regering

De eindtermen werden vastgelegd bij besluit van de Vlaamse regering tot bepaling van de ontwikkelingsdoelen en de eindtermen van het gewoon basisonderwijs van 20.06.1996 en in de codex secundair onderwijs.