Derde graad - KSO - Wiskunde

Vakgebonden eindtermen

 

1. Algemene eindtermen

  De leerlingen kunnen
1 wiskundige informatie analyseren, schematiseren en structureren.
2 gebruik maken van wiskundige technieken zoals figuren maken en tabellen opstellen.
3 bij het oplossen van problemen functioneel gebruik maken van ict.
4 bij het oplossen van een vraagstuk:
 
  • relevante gegevens scheiden van niet relevante
  • gegevens met elkaar en met de probleemstelling in verband brengen
  • gegevens en gevraagde weergeven in een geschikt wiskundig model
  • het vraagstuk planmatig uitwerken
5 wiskundige rekenregels en conventies correct hanteren en toepassen.
6 keuzes m.b.t. representatie en gevolgde werkwijze verantwoorden.
7 voorbeelden geven van het gebruik van wiskunde in andere vakgebieden en in de maatschappij.
  De leerlingen
8* zijn kritisch tegenover het gevonden resultaat.
9* zijn bereid hun leerproces bij te sturen op basis van reflectie over de wijze waarop ze wiskundige problemen oplossen en wiskundige informatie verwerven en verwerken.
 

2. Reële functies en algebra

  De leerlingen kunnen
10 bijzonderheden van grafieken, eventueel aangevuld met tabellen, aflezen zoals periodiciteit, symmetrieën, stijgen en dalen, extreme waarden, lineaire en exponentiële groei.
11 grafieken tekenen van enkele eenvoudige functies (mede met behulp van ict).
12 veranderingen beschrijven en vergelijken met behulp van differentiequotiënten.
13 problemen, waarbij een functioneel verband gegeven is, oplossen en die oplossing interpreteren (eventueel met behulp van ict).
 

3. Statistiek

  De leerlingen kunnen
14 aan de hand van voorbeelden het belang uitleggen van de representativiteit van een steekproef voor het formuleren van statistische besluiten over de populatie.
15 met behulp van ict gemiddelde en standaardafwijking berekenen van statistische gegevens.
16 het gemiddelde en de standaardafwijking gebruiken als karakteristieken van een normale verdeling.
  De leerlingen
17* staan kritisch tegenover het gebruik van statistiek in de media.


Uitgangspunten

1. Krachtlijnen

1.1 Wiskunde in een veranderende samenleving

1.1.1 Wiskunde en de maatschappij

Enerzijds is er in onze (technologisch georiënteerde) maatschappij een grote vraag naar praktisch bruikbare en concrete wiskunde, en anderzijds kan de abstractie van wiskunde soms hoog zijn. In het vak wiskunde bestaat een wisselwerking tussen theorievorming en de bruikbaarheid ervan voor het oplossen van concrete problemen.

Telkens in de eindtermen voorkomt: "praktisch, probleem, situatie, object, vraagstuk", worden hier zowel opdrachten bedoeld uit wiskunde als uit andere vakgebieden zoals economie, technologie, fysica, chemie, biologie, aardrijkskunde, bouwkunde,

Het is niet altijd voor de hand liggend om de bekommernis, met name om de wiskundige begrippen te koppelen aan problemen, in de formulering van elke eindterm tot uiting te brengen.

1.1.2 Wiskunde en de leerling

Kennisverwerving en -verwerking is een actief, sociaal proces waarvoor een minimale motivatie vereist is. Het ontdekken en opbouwen van wiskunde door de leerling gebeurt bij voorkeur door te vertrekken van voor de leerling betekenisvolle inhouden; de verworven kennis en vaardigheden moeten met inzicht worden toegepast in diverse situaties.

1.1.3 De eigenheid van het wiskundig denken

Wiskunde biedt de mogelijkheid om modellen op te bouwen waarmee verschijnselen, processen en verbanden kunnen worden beschreven, voorspeld en verklaard. Het is ondermeer eigen aan wiskunde de samenhang tussen wiskundige begrippen en wiskundige modellen te vergelijken, te ordenen en te funderen en daaruit maximaal voordeel te halen.

1.1.4 Consequenties voor het wiskundeonderwijs

Het is wenselijk dat de verschillende facetten van wiskunde in het wiskundeonderwijs aan bod komen, in overeenstemming met de eigenheid van de onderwijsvorm. De combinatie van deze verschillende facetten kan er toe leiden dat de zinvolle ontwikkeling van wiskundige kennis, denkwijzen en werkmethodes voor elke leerling optimaal kan verlopen.

1.2 Het wiskundeonderwijs

1.2.1 Situatieschets

In het wiskundeonderwijs wordt een horizontale en een verticale component onderscheiden. De horizontale gaat uit van waarnemingen, ervaringen, problemen en hypothesen. De verticale component besteedt vooral aandacht aan abstrahering en structurering. Beide componenten komen aan bod door te werken met een spiraalopbouw. Dit model brengt met zich mee dat niet elk onderdeel van wiskunde dat wordt aangevat, meteen wordt afgewerkt. De onderdelen komen meermaals aan bod, op een steeds hoger, meer gestructureerd niveau.

Dit biedt onderstaande voordelen voor de leerling:

  • de leerling verwerft geleidelijk de typische manier van denken en werken, eigen aan elk onderdeel (meetkunde, getallenleer, algebra, statistiek en kansrekenen, analyse, );
  • er wordt aandacht besteed aan de weg die voert naar de theorie;
  • als de leerling een niveau niet of foutief verwerkt, dan is dit niet zo dramatisch als bij een eenmalige behandeling. De leerling kan aanpikken bij een vorig niveau en verder werken aan de verticale opbouw van het onderdeel;
  • de drempel naar wiskunde wordt verlaagd. Dit geeft de kans om reeds in het beginstadium te werken aan de samenhang tussen de verschillende onderdelen van wiskunde.

1.2.2 Voortschrijdende abstrahering

Bij nieuwe wiskundige kennisopbouw is het belangrijk voldoende en uiteenlopende concrete aanknopingspunten te zoeken. Door een abstract begrip met voldoende voorbeelden te onderbouwen blijft de kennis minder geïsoleerd. Bij het verbinden van nieuwe ervaringen met het begrip of bij het niet meer behoorlijk functioneren van het begrip, kan de leerling terugvallen op die voorbeelden. Naast de ontwikkeling van de begrippen worden er tevens vaardigheden, rekenregels en algoritmen ontwikkeld. Geleidelijk komt men tot theorievorming. Er wordt ingegaan op het formuleren van definities, eigenschappen en stellingen.

1.2.3 Interactie en reflectie

Deze voortschrijdende abstrahering veronderstelt interactie tussen de leraar en de leerling en tussen de leerlingen onderling. Communicatie tussen deze partners bevordert het inzicht. De wiskundige denkprocessen worden hierdoor geëxpliciteerd en verder verfijnd. Het gebruik van de wiskundetaal speelt hierbij een rol.

De leerling wordt zo verplicht te reflecteren over zijn denkproces. Er dienen een aantal keuzes gemaakt te worden die resulteren in een planning. Tussentijdse controles hebben een sturend effect en kunnen leiden tot koerswijzigingen. Bij het uitblijven van resultaten dient er gezocht te worden naar oorzaken. Bekomen resultaten dienen te worden geëvalueerd.

Het belang van reflectie bij de vorming zit er ondermeer in dat:

  • de leerling zijn handelen kritisch leert analyseren;
  • de leerling minder afhankelijk wordt van anderen;
  • het denken aan planmatigheid wint;
  • oplossingsmethoden onderzocht worden op generaliseerbaarheid;
  • het denken flexibeler wordt.

1.3 De maatschappij

1.3.1 Omgaan met data

In onze maatschappij wordt zeer veel informatie aangeboden via beelden. Binnen wiskunde moet de leerling leren omgaan met de wiskundige verwerking van informatie in tabellen met getallen, grafieken, diagrammen en schema's. De leerlingen leren functioneel gebruik maken van verbanden tussen grootheden aan de hand van deze voorstellingen. Deze vaardigheden kunnen worden toegepast in andere vakken.

1.3.2 Gebruik van informatietechnologie

Door de snelle ontwikkelingen in de informatie- en communicatietechnologie kunnen berekeningen en grafische voorstellingen gemakkelijker worden uitgevoerd. Hierdoor kan men andere klemtonen leggen. De leerlingen moeten vlot een zakrekenmachine kunnen hanteren. De zakrekenmachine en wiskundige software kunnen ook als leermiddel aangewend worden.

Het is de bedoeling daar waar ict kan helpen, hetzij om rekentechnische problemen te verlichten, hetzij om inzicht bij te brengen, ict ook zinvol te gaan gebruiken. Ook al staat niet in iedere eindterm die verwijzing naar ict, toch is het de bedoeling het, daar waar nuttig, in te schakelen.

1.3.3 Transfer en probleemoplossend denken

Door het vlugge tempo waarmee de samenleving verandert, is het belangrijk dat de leerlingen de nodige soepelheid ontwikkelen om snel en efficiënt allerhande problemen op te lossen. De wendbaarheid van opgedane wiskundekennis wordt belangrijk. Die wendbaarheid kan verhoogd worden als wiskundige begrippen en vaardigheden herkenbaar en toepasbaar zijn in andere vakken, in het bijzonder in wetenschappelijke en technische toepassingen uit de realiteit. Eenzelfde methode of redenering kan ingezet worden in verschillende domeinen van de samenleving.

Naast de kennis van het vakdomein zijn er ook een aantal inhoudsvrije vaardigheden, zoekstrategieën die vooral hun diensten bewijzen bij het vertalen van de situatie in een wiskundig herkenbaar probleem. Tenslotte zijn er vaardigheden om het oplossingsproces behendig te sturen en te controleren (zie interactie en reflectie).

Een goede probleemoplosser moet beschikken over domeinspecifieke kennis, probleemoplossende vaardigheden en zelfregulerende vaardigheden.

1.4 De leerling

1.4.1 Motivatie

De motivatie van de leerling kan verhoogd worden door er voor te zorgen dat het vak als nuttig, zinvol en boeiend ervaren wordt. Het nut komt tot uiting in de bruikbaarheid en de toepassingsgerichtheid. Wiskunde wordt zinvoller als men vertrekt van herkenbare situaties, van voorbeelden aangepast aan het bevattingsvermogen en inspelend op de belevingswereld van de leerlingen. Als de leerlingen actief betrokken worden bij de opbouw van hun wiskundige kennis en vaardigheden, zullen zij de zin van theorievorming beter inzien.

Het boeiende wordt bereikt als de leerlingen in bewondering kunnen staan voor de schoonheid en de perfectie van een meetkundige figuur, de helderheid van een redenering en de elegantie van een formule. Probleemsituaties stellen een uitdaging voor de leerling.

1.4.2 Zelfvertrouwen

Als de leerlingen ontdekken dat ze bekwaam zijn om hun groeiende wiskundekennis te gebruiken in nieuwe situaties, groeit hun vertrouwen en worden ze zelfzekerder. Vertrekken van relatief eenvoudige problemen, die ze zelfstandig kunnen oplossen, moedigt hen aan om zelfstandig nieuwe, meer complexe oefeningen aan te pakken.

1.4.3 Waarden en attitudes

De leerlingen moeten ervaren dat wiskunde praktisch nut heeft, dat ze een vormende en esthetische waarde heeft.

Leerlingen leren kritisch te staan tegenover allerlei cijfermateriaal, tabellen, berekeningen, Ze zijn bereid een probleem zelf aan te pakken. Het leren door vallen en opstaan mag niet ontmoedigend werken. Uit fouten en verkeerde keuzes kan eveneens geleerd worden. De leerlingen verwerven de attitude om op hun oplossingsproces terug te blikken en hun resultaat te toetsen. Ze ervaren het oplossingsproces als even waardevol als het resultaat.

2. Funderende doelstellingen

  1. Een wiskundig basisinstrumentarium verwerven: leren omgaan met symbolen, formules, begrippen en verbanden waarmee men getallenleer, algebra, meetkunde, analyse en statistiek kan ontwikkelen.
  2. Een aantal wiskundige denkmethoden verwerven: mogelijkheden verwerven om te ordenen en te structureren.
  3. Cijfer- en beeldinformatie op een betekenisvolle manier hanteren.
  4. Omgaan met de wiskunde als taal.
  5. Zelfstandigheid en vaardigheden ontwikkelen in het oplossen van problemen.
  6. Verbanden leggen tussen de wiskundige leerinhouden en andere vakdisciplines.
  7. Technische hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken, berekeningen uit te voeren of wiskundige problemen op te lossen.
  8. Zelfvertrouwen en kritische zin ontwikkelen.
  9. Ervaren dat de wiskunde een belangrijke cultuurcomponent is.

3. Selectiecriteria en structurering van de eindtermen

3.1 Selectiecriteria

Bij het selecteren van de eindtermen werden als voornaamste criteria gehanteerd: de maatschappelijke relevantie van wiskunde, wiskunde als cultuurelement en de aansluiting met de eindtermen van de tweede graad. Bij het opstellen van de eindtermen van de derde graad werden eveneens curriculum-standaarden uit het buitenland (Nederland, Verenigde Staten, ) bestudeerd naar relevantie en vergeleken met de doelstellingen die in Vlaanderen werden vooropgesteld. De resulterende (eigen) visie werd tenslotte vertaald in verschillende categorieën zoals:

  • het verwerven van inzichten in domeinspecifieke kenniselementen;
  • het ontwikkelen van vaardigheden en attitudes om deze inzichten te verwerven en aan te wenden;
  • het ontwikkelen van een affectieve betrokkenheid t.o.v. wiskunde;
  • het leren gebruiken van technologieën ter ondersteuning van de kennisverwerving.

In de hier beschreven basisvorming bevat de wiskundevorming haar essentiële kenmerken met name de samenhang tussen de nieuwe kenniselementen, het relateren van nieuwe kennis aan reeds verworven kennis, de relatie met andere vakgebieden en de verwevenheid met vaardigheden en het hanteren van procedures. In verschillende inhoudsgebonden thema's wordt de noodzaak beklemtoond om de verworven kennis aan te wenden in het oplossen van vraagstukken. Er wordt geen theoretische diepgang nagestreefd, maar de nadruk ligt op intuïtieve benaderingen van de belangrijke basisbegrippen. Ict biedt een substantiële ondersteuning.

De vaardigheden en attitudes waarvan hierboven sprake hebben specifieke doelstellingen binnen het vak wiskunde. Bovendien is wiskunde het medium bij uitstek waarbinnen ze extra kunnen getraind worden om zo de transfer naar andere vakgebieden te bewerkstelligen. Het betreft voornamelijk probleemoplossende vaardigheden, het redeneren en argumenteren, nauwkeurigheid en kritische zin en zelfregulatie bij het beoefenen van wiskunde.

3.2 Structurering

De eindtermen werden onderverdeeld in volgende rubrieken:

  • algemene eindtermen,
  • reële functies en algebra,
  • statistiek.

Deze volgorde en indeling hebben uiteraard geen didactische consequenties en zijn niet bindend voor de uitwerking van de eindtermen in een leerplan.

4. Coördinatie

4.1 Verticale samenhang

Het wiskundeonderwijs is een proces van geleidelijke opbouw en verdieping. Wat in het basisonderwijs en de eerste en tweede graad van het secundair onderwijs verworven is, wordt verder uitgediept. Daarnaast komen nieuwe inhouden aan bod.

Binnen het luik "reële functies" worden de begrippen variabele en functie (dat uitdrukking geeft aan de afhankelijkheid van een andere grootheid) verder uitgewerkt, evenals de wisselwerking tussen de verschillende representatievormen van een functie. De algemene principes die in de eerste en tweede graad reeds werden geïntroduceerd (grafieken, tabellen, voorschriften, domein, bereik, nulwaarden, stijgen en dalen, ) voor eerste- en tweedegraadsfuncties, krijgen nu algemenere betekenis. Nieuwe klassen van functies komen aan bod: veeltermfuncties (als veralgemening van eerste- en tweedegraadsfuncties), exponentiële functies (met nadruk op exponentiële groei) en goniometrische functies (met nadruk op de periodiciteit).

In de derde graad worden ook nieuwe aspecten bestudeerd, namelijk afgeleide en integraal, maar dan beperkt tot veeltermfuncties. Als minimumeis wordt hier een intuïtief inzicht in de begrippen benadrukt: het begrip "afgeleide" wordt intuïtief vanuit het differentiequotiënt ingeleid en wordt gebruikt om de "verandering" van veeltermfuncties te bestuderen. Het aanwenden van probleemoplossende vaardigheden is hier essentieel gezien de belangrijke toepassingen van reële functies: het modelleren van vraagstukken door het invoeren van veranderlijken en het bepalen van functionele verbanden; het oplossen van extremumvraagstukken. Het exponentbegrip krijgt in de derde graad een uitbreiding tot rationale exponenten en daarna op intuïtieve manier tot reële exponenten via de exponentiële functie.

Binnen het luik statistiek biedt het begrip "normale verdeling" aansluiting met de statistiek van de tweede graad. De normale verdeling biedt een wiskundig model voor de data met een vaak voorkomende klokvormige frequentieverdeling. Het gemiddelde en de standaardafwijking, begrippen die in de tweede graad aangebracht werden, worden nu aangewend om de meest passende normale verdeling te selecteren.

Meetkunde en algebra zijn niet meer opgenomen als aparte categorieën in de eindtermen van de derde graad. De minimumvereisten werden grotendeels bereikt in de tweede graad. Meetkundige en algebraïsche aspecten blijven echter een rol spelen: het gebruik van grafieken, grafische interpretaties van het begrip afgeleide, het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden.

Algemeen kan gesteld worden dat het vertalen van een concreet probleem naar een geschikte wiskundige representatie en het efficiënt aanpakken van het zo ontstane wiskundeprobleem eindtermen zijn die moeten terugkeren in de verschillende graden. Ze dienen echter steeds gerealiseerd te worden binnen nieuwe contexten, met de nieuw verworven leerinhouden en methoden en op een hoger vaardigheidsniveau.

Voorbeelden

  1. De leerlingen kunnen de begrippen "schaal" en "gemiddelde" aan de hand van concrete voorbeelden verwoorden. (Lager onderwijs: wiskunde, eindterm 2.4.)

    De leerlingen kunnen vanuit tabellen met cijfergegevens het rekenkundig gemiddelde en de mediaan (voor niet gegroepeerde gegevens) berekenen en hieruit relevante informatie afleiden. (Eerste graad SO: wiskunde, eindterm 17.)

    De leerlingen gebruiken in betekenisvolle situaties mediaan, gemiddelde en kwartielen van statistische gegevens bij het trekken van conclusies. (Tweede graad SO: wiskunde, eindterm 29.)

    De leerling kunnen het gemiddelde en de standaardafwijking gebruiken als karakteristieken van een normale verdeling. (Derde graad SO: wiskunde, eindterm 16.)
  1. De leerlingen kunnen vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende oplossen. (Eerste graad SO: wiskunde, eindterm 21.)

    De leerlingen lossen problemen op waarbij verbanden beschreven worden door twee eerstegraadsvergelijkingen. (Tweede graad SO: wiskunde, eindterm 25.)

    De leerlingen kunnen problemen, waarbij een functioneel verband gegeven is, oplossen en die oplossing interpreteren (eventueel met behulp van ict). (Derde graad SO: wiskunde, eindterm 13.)

4.2 Horizontale samenhang

Het belang van een samenhangend curriculum werd reeds onderstreept in het basisonderwijs en de eerste en tweede graad van het secundair onderwijs. Dit is niet anders in de derde graad. Door de verdere uitbouw van een goed georganiseerd kennisbestand, gekoppeld aan bijhorende vaardigheden en attitudes, ontstaan er steeds meer aanknopingspunten met andere vakken en vakoverschrijdende eindtermen.

Voorbeelden

  1. De leerlingen kunnen wiskundige informatie analyseren, schematiseren en structureren. (Derde graad SO: wiskunde, eindterm 1.)

    De leerlingen kunnen zelfstandig informatie kritisch analyseren en synthetiseren. (Derde graad SO: leren leren, eindterm 4.)
  1. De leerlingen staan kritisch tegenover het gebruik van statistiek in de media. (Derde graad SO: wiskunde, eindterm 17.)

    De leerlingen kunnen hun selectie van informatie kritisch verantwoorden. (Derde graad SO: geschiedenis, eindterm 12.)

Basisvorming, specifiek gedeelte en complementair gedeelte

Voor de tweede en derde graad van het secundair onderwijs onderscheidt men in de studierichtingen naast de basisvorming en het specifiek gedeelte, het complementaire gedeelte.

  • Voor de basisvorming zijn er vakgebonden eindtermen geformuleerd. Dit zijn minimumdoelen op het vlak van kennis, inzicht, vaardigheden en attitudes die de onderwijsoverheid als noodzakelijk en bereikbaar acht voor een bepaalde leerlingenpopulatie. Voor het gewoon secundair onderwijs worden ze vastgelegd per graad en per onderwijsvorm. Naast de vakgebonden eindtermen zijn er ook vakoverschrijdende eindtermen.
  • Voor de basisvorming van het eerste leerjaar B en het beroepsvoorbereidend leerjaar van de eerste graad zijn er ontwikkelingsdoelen. geformuleerd. Het zijn minimumdoelen op het vlak van kennis, inzicht, vaardigheden en attitudes die de onderwijsoverheid wenselijk acht voor een bepaalde leerlingenpopulatie en die de school bij haar leerlingen moet nastreven. Ontwikkelingsdoelen kunnen vakgebonden of vakoverschrijdend zijn.
  • Voor het specifiek gedeelte van een opleiding worden specifieke eindtermen ontwikkeld. Dit zijn doelen met betrekking tot de vaardigheden, de specifieke kennis, inzichten en attitudes waarover een leerling van het voltijds secundair onderwijs beschikt om vervolgonderwijs aan te vatten en/of als beginnend beroepsbeoefenaar te kunnen fungeren.
  • Specifieke eindtermen zijn momenteel ontwikkeld voor het ASO. De specifieke eindtermen voor de pool topsport gelden ook voor het TSO.

De overheid formuleert geen eindtermen of ontwikkelingsdoelen voor het keuzegedeelte, de basisopties en de beroepenvelden van de eerste graad secundair onderwijs en voor het complementaire gedeelte van de tweede en derde graad.

 

Besluit Vlaamse regering

De eindtermen werden vastgelegd bij besluit van de Vlaamse regering tot bepaling van de ontwikkelingsdoelen en de eindtermen van het gewoon basisonderwijs van 23.06.2000 en in de codex secundair onderwijs.